名詞解釋

項：多項式中每一個${\displaystyle x^{n}}$皆稱之為多項式的項

次數：多項式${\displaystyle x^{n}}$中每一項的n為此項的次數

同次項：若有多個多項式，其中每一項的${\displaystyle x^{k}}$項稱之為同次項

首項：指多項式的項中次數最大者，若多項式首項為${\displaystyle n}$，則稱此多項式為${\displaystyle n}$次多項式

項數：顧名思義，即為多項式項的數目

係數：指任意多項式${\displaystyle a_{n}x^{n}}$中的${\displaystyle a_{n}}$且${\displaystyle a_{n}}$為多項式

零次多項式(單項式，有時不被視為多項式)：指多項式${\displaystyle f(x)}$中，${\displaystyle f(x)=c}$，而沒有其他${\displaystyle x^{n}}$的項，其中${\displaystyle c}$為常數

零多項式：零次多項式中的${\displaystyle c=0}$者稱

多項式及非多項式

多項式裡面的任意${\displaystyle x^{n}}$的${\displaystyle n}$必須為正整數，否則不能稱之為多項式

以下的式子為多項式：

${\displaystyle x^{10}+60x^{8}-33x^{5}+42x^{2}-3}$、${\displaystyle ({\sqrt {2}}-{\sqrt[{3}]{5}})x^{2}-{\sqrt[{4}]{6}}}$、${\displaystyle \pi ^{e}x^{10^{10}}-6x+1}$、${\displaystyle (3+i)x^{5}-2ix^{2}+1}$

以下的式子不為多項式：

${\displaystyle 2x^{3}+10x^{-1}}$、${\displaystyle 5x^{\sqrt {2}}+x^{3\pi }+2x-1}$、${\displaystyle x^{3}-5x^{\frac {2}{3}}+4{\sqrt {x}}-3{\sqrt[{3}]{x^{5}}}}$、${\displaystyle {\sqrt {1+x^{2}}}}$

習題

加法

若有兩個多項式${\displaystyle f(x)}$和${\displaystyle g(x)}$，它們的同次項可相加，例子如下： 例：${\displaystyle f(x)=2x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+5x+5}$、${\displaystyle g(x)=5x^{4}+10x^{3}+x^{2}+3x+2}$則

${\displaystyle f(x)+g(x)=(2x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+5x+5)+(5x^{4}+10x^{3}+x^{2}+3x+2)=7x^{4}+13x^{3}+3x^{2}+8x+7}$

減法

例：${\displaystyle f(x)=36x^{5}+7x^{4}+66x^{3}+36x^{2}+66x+6}$、${\displaystyle g(x)=5x^{5}-73x^{4}-11x^{3}-11x^{2}+5x+3}$則

${\displaystyle f(x)-g(x)=(36{\color {Orange}-5})x^{5}+(7{\color {Orange}+73})x^{4}+(66{\color {Orange}+11})x^{3}+(36{\color {Orange}+11})x^{2}+(66{\color {Orange}-5})x+(6{\color {Orange}-3})=31x^{5}+80x^{4}+77x^{3}+47x^{2}+61x+3}$

乘法

多項式的乘法，${\displaystyle f(x)g(x)}$就是${\displaystyle f(x)}$的每一項，都乘以${\displaystyle g(x)}$的每一項，有次方的就累積。
例：${\displaystyle f(x)=x^{2}+x+36,g(x)=x^{2}+x+11}$
則：${\displaystyle f(x)g(x)=36x^{2}+36x+36*11+11x^{2}+11x+x^{3}+x^{2}+x^{4}+x^{3}=x^{4}+(1+1)x^{3}+(36+11+1)x^{2}+(36+11)x+(36*11)=x^{4}+2x^{3}+48x^{2}+47x+396}$

除法

多項式除法，如${\displaystyle f(x)}$除以${\displaystyle g(x)}$，意即求出商式${\displaystyle q(x)}$和餘式${\displaystyle r(x)}$，

使得${\displaystyle f(x)=q(x)g(x)+r(x)}$，其中${\displaystyle \deg(r)<\deg(g)}$

多項式長除法

多項式與多項式之間的長除法，步驟類同於數與數之間的長除法

例子：用多項式長除法求解${\displaystyle x^{2}+36x+155}$ 除以 ${\displaystyle x+5}$ 如下寫上被除式與除式 ${\displaystyle {\begin{array}{rl}\\x+5\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}+36x+155\end{array}}\end{array}}}$ 首先要消掉${\displaystyle x^{2}}$這一項，${\displaystyle x}$乘上${\displaystyle x+5}$是二次多項式，把${\displaystyle x}$記到商式部份 ${\displaystyle {\begin{array}{rl}&~~\,x\\x+5\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}+36x+155\end{array}}\\\end{array}}}$ 把${\displaystyle x(x+5)=x^{2}+5x}$寫到被除式的下方 ${\displaystyle {\begin{array}{rl}&~~\,x\\x+5\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}+36x+155\end{array}}\\&\!\!\!\!-{\underline {(x^{2}+5x)~~~}}\\\end{array}}}$ 與被除式相減 ${\displaystyle {\begin{array}{rl}&~~\,x\\x+5\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}+36x+155\end{array}}\\&\!\!\!\!-{\underline {(x^{2}+5x)~~~~~~~~~~~}}\\&\!\!\!\!~~~~~(36{\color {Orange}-5})x+155~~~\\\end{array}}}$ 把相減得到的結果看成另外一個被除式，重復以上步驟 ${\displaystyle {\begin{array}{rl}&~~\,x+31\\x+5\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}+36x+155\end{array}}\\&\!\!\!\!-{\underline {(x^{2}+5x)~~~~~~~~~~~}}\\&\!\!\!\!~~~~~~~~~~~~~31x+155~~~\\&\!\!\!\!~~~~~~~-{\underline {(31x+155)~~~}}\\&\!\!\!\!~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0~~~\\\end{array}}}$ 在這個例子中商式為${\displaystyle x+31}$，餘式為0

綜合除法

一般的綜合除法能計算除式形如${\displaystyle x-k}$的除法。

${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}~\\k\\~\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}f(x)&~\\~&~\\\hline q(x)&r\\\end{array}}\end{array}}}$

得出形如${\displaystyle f(x)=(x-k)q(x)+r}$的恆等式。

例子：用綜合除法求解${\displaystyle x^{3}-12x^{2}-42}$除以${\displaystyle x-3}$ 在頂部寫上被除式的各項系數，左邊寫上k ${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}}$ 把被除式最高次項的系數寫下來 ${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}}$ 乘上左邊的常數再放上第二行 ${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}}$ 與上面的系數相加，寫到下面 ${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&&\\\hline 1&-9&&\\\end{array}}\end{array}}}$ 重複乘法加法運算，直到除法結束 ${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{c}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&-42\\&3&-27&-81\\\hline 1&-9&-27&-123\end{array}}\end{array}}}$ 結果得出商式為${\displaystyle x^{2}-9x-27}$，餘式為${\displaystyle -123}$

餘式定理

多項式${\displaystyle f(x)}$除以${\displaystyle x-a}$的餘式為${\displaystyle f(a)}$，${\displaystyle (x-a)|f(x)\Leftrightarrow f(a)=0}$

证明餘式定理 由多項式除法得到： ${\displaystyle f(x)=(x-a)q(x)+r}$ 因為除式為一次多項式，所以餘式一定是常數，代入${\displaystyle x=a}$，得到${\displaystyle f(a)=r}$

例子：

${\displaystyle f(x)=x^{2}+36x+155}$ 除以 ${\displaystyle x+5}$的餘式為${\displaystyle f(-5)=(-5)^{2}+36(-5)+155=25-180+155=0}$
${\displaystyle f(x)=x^{3}-12x^{2}-42}$除以${\displaystyle x-3}$的餘式為${\displaystyle f(3)=(3)^{3}-12(3)^{2}-42=27-108-42=-123}$
${\displaystyle f(x)=x^{3}-7x-55}$除以${\displaystyle x-4}$的餘式為${\displaystyle f(4)=(4)^{3}-7(4)-55=64-28-55=36-55=-19}$

習題

1. 求${\displaystyle f(x)=2x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+5x+5}$ 除以${\displaystyle x+2}$的餘式
2. 用長除法求${\displaystyle f(x)=x^{3}+36x^{2}+36x+155}$ 除以${\displaystyle x^{2}+5x+5}$的餘式

習題

輾轉相除法

代數基本定理

每個複係數的多項式至少有一個複數解

一次因式檢驗法

根式解

一元二次方程式

任意的一元二次方程式${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$，它的解都可用以下公式來表示： ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

例子：找出${\displaystyle 4x^{2}+7x-2}$的所有根 即求${\displaystyle 4x^{2}+7x-2=0}$的所有解。 代入${\displaystyle a=4,b=7,c=-2}$到求根公式，得到： ${\displaystyle x={\frac {-7\pm {\sqrt {7^{2}-4(4)(-2)}}}{2(4)}}={\frac {-7\pm {\sqrt {49+32}}}{8}}={\frac {-7\pm {\sqrt {81}}}{8}}={\frac {-7\pm 9}{8}}}$ ${\displaystyle x={\frac {2}{8}},x={\frac {-16}{8}}}$ ${\displaystyle x={\frac {1}{4}},x=-2}$

這個公式也可以應用在二次多項式的因式分解。

例子：因式分解${\displaystyle 4x^{2}+7x-2}$ 從上例中我們得到多項式的根為${\displaystyle x={\frac {1}{4}}}$ and ${\displaystyle x=-2}$，於是多項式可分解成： ${\displaystyle 4x^{2}+7x-2=C(x+2)(x-{\frac {1}{4}})=C(x^{2}+{\frac {7}{4}}x-{\frac {1}{2}})}$ 可見 ${\displaystyle C=4}$時等式成立，於是多項式可因式分解為： ${\displaystyle 4x^{2}+7x-2=4(x+2)(x-{\frac {1}{4}})=(x+2)(4x-1)}$

可是當${\displaystyle 4ac>b^{2}}$時方程根不是實數，不可以因式分解。

一元三次方程式

一元四次方程式

勘根定理

習題