Description01 Dreiteilung des Winkels-Prinzip Alberts-180°.svg	Deutsch: Dreiteilung des Winkels, Näherungskonstruktion für Winkel > 0° bis 180°, im Prinzip ähnlich der Näherungskonstruktion für Winkel > 0° bis 90° nach Chris Alberts English: Trisection of an angle, proximity construction for angles > 0° to 180°, in principle similar to the approximate construction for angles > 0° to 90°, according to Chris Alberts
Date	16 February 2020
Source	Own work
Author	Petrus3743
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Mit der neuen Hilfslinie ${\displaystyle \overline{OS}}$ auf dem Kreisbogen ${\displaystyle OBA}$ wird eine Dreiteilung des Winkels ${\displaystyle BOA}$ größer ${\displaystyle 0^{\circ }}$ bis ${\displaystyle 180^{\circ }}$ erreicht.

Betrachte den Kreisbogen ${\displaystyle OBA}$ auf dem Kreis ${\displaystyle C}$, der in ${\displaystyle O}$ zentriert ist (siehe nebenstehendes Bild). Angenommen, der Winkel ${\displaystyle BOA}$ liegt zwischen ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle 180}$ Grad sowie die Verlängerung des Winkelschenkels ${\displaystyle \overline{OB}}$ schneidet den Kreis ${\displaystyle C}$ in ${\displaystyle B^{″},}$ dann gehe folgendermaßen vor um ${\displaystyle BOA}$ zu teilen.

1. Zeichne den Kreis ${\displaystyle C^{\prime }}$ um ${\displaystyle O}$ mit einem Radius ${\displaystyle \frac{1}{3}\overline{OA};}$ die entsprechenden Schnittpunkte mit den Strecken ${\displaystyle \overline{OA},\overline{OB}}$ und ${\displaystyle \overline{O{B}^{″}}}$ sind demzufolge ${\displaystyle A^{\prime },B^{\prime }}$ und ${\displaystyle D.}$
2. Es sei ${\displaystyle E}$ der Mittelpunkt der Strecke ${\displaystyle \overline{O{B}^{\prime }}.}$ Ziehe den Kreis ${\displaystyle C^{″}}$ (grün dargestellt) um ${\displaystyle B^{\prime }}$ durch den Punkt ${\displaystyle O.}$
3. Halbiere den Winkel ${\displaystyle BOA}$ in ${\displaystyle S}$ und verbinde ${\displaystyle O}$ mit ${\displaystyle S.}$
4. Zeichne eine Linie ab ${\displaystyle E}$ parallel zu ${\displaystyle \overline{OS}}$ durch die Kreislinie von ${\displaystyle C^{″}}$ bis zum Kreis ${\displaystyle C^{\prime };}$ die Schnittpunkte sind ${\displaystyle P}$ bzw. ${\displaystyle R.}$
5. Es sei ${\displaystyle M}$ der Mittelpunkt der Strecke ${\displaystyle \overline{PR.}}$ Ziehe eine Linie ab ${\displaystyle B^{\prime }}$ durch ${\displaystyle M}$ bis sie den Kreis ${\displaystyle C^{\prime }}$ in ${\displaystyle N}$ schneidet.
6. Zeichne eine Linie ab ${\displaystyle B^{\prime }}$ parallel zu ${\displaystyle \overline{OS}}$ und wähle den Punkt ${\displaystyle F}$ darauf so, dass ${\displaystyle \overline{N{B}^{\prime }}}$ ${\displaystyle =\overline{NF}}$ ist.
7. Ziehe eine Linie ab ${\displaystyle N}$ durch ${\displaystyle F}$ bis sie den Kreis ${\displaystyle C}$ in ${\displaystyle G}$ schneidet.
8. Ziehe eine Linie ab ${\displaystyle G}$ durch ${\displaystyle O}$ bis sie den Kreis ${\displaystyle C^{\prime }}$ in ${\displaystyle H}$ schneidet.

Hinweis: Sieht man sich die Zeichnung genau an, ist zu erkennen, dass sich die Strecken ${\displaystyle \overline{GH}}$ und ${\displaystyle \overline{GN}}$ nicht überdecken, d. h. nicht kollinear sind.

9. Ziehe eine Linie ab ${\displaystyle D}$ parallel zu ${\displaystyle \overline{OS}}$ und wähle den Punkt ${\displaystyle J}$ darauf so, dass der Abstand ${\displaystyle |HJ|=\overline{HD}}$ ist.
10. Ziehe eine Linie ab ${\displaystyle H}$ durch ${\displaystyle J}$ bis sie den Kreis ${\displaystyle C}$ in ${\displaystyle K}$ schneidet.

Hinweis: Die Strecke ${\displaystyle \overline{HK}}$ ist keine Verlängerung der Strecke ${\displaystyle \overline{GH},}$ d. h. der Winkel ${\displaystyle HO{A}^{\prime }}$ ist noch nicht der gesuchte Winkel ${\displaystyle \beta ,}$ siehe Fehlerbetrachtung.

11. Übertrage den so konstrierten Winkel ${\displaystyle KOA}$ mithilfe der – nicht eingezeichneten – Sehne ${\displaystyle \overline{AK}}$ ab ${\displaystyle B}$ auf dem Kreisbogen ${\displaystyle BOA}$ ab; dabei ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle T.}$

Der Winkel ${\displaystyle BOT}$ ist der gesuchte Winkel ${\displaystyle \beta ,}$ er ist nahezu gleich einem Drittel des Winkels ${\displaystyle BOA.}$

Die obigen Konstruktionsschritte (1. – 11.) beinhalten zwei Stufen der Näherungsgrade, d. h. zwei unterschiedliche Fehlergrößen im Bereich zwischen ${\displaystyle 0^{\circ }}$ und ${\displaystyle 180^{\circ }}$:

• Stufe 1 nach GeoGebra: Nach dem 8. Schritt ist die max. Differenz des Winkels ${\displaystyle A^{\prime }OH}$ zu einem exakt gedrittelten Winkel nur ca. ${\displaystyle \mathrm{0,000137}{9}^{\circ }.}$
• Stufe 2 nach Rostamian: Nach dem 11. Schritt hat der Winkel ${\displaystyle KOA}$ zu einem exakt gedrittelten Winkel den hervorragenden kleinen Differenzwert von max. ${\displaystyle \mathrm{1,33}\cdot 10^{-16}{}^{\mathrm{\circ }}.}$

Die dargestellte Konstruktion wurde mit der Dynamische-Geometrie-Software (DGS) GeoGebra angefertigt; darin werden in diesem Fall die Winkelgrade meist mit signifikanten dreizehn Nachkommastellen angezeigt. Die sehr kleinen Fehler des Winkels ${\displaystyle KOA,}$ sprich, die Differenzwerte aus ${\displaystyle \frac{\alpha }{3}-\beta ,}$ werden deshalb von GeoGebra stets mit ${\displaystyle 0^{\circ }}$ angezeigt.

Der Differenzwert von max. ${\displaystyle \mathrm{1,33}\cdot 10^{-16}{}^{\mathrm{\circ }}}$ entspricht einem absoluten Fehler ${\displaystyle F}$ der – nicht eingezeichneten – Sehne ${\displaystyle \overline{AK},}$ der sich wie folgt ergibt:

${\displaystyle F=2\cdot \sin \left(\frac{\mathrm{1,33}\cdot 10^{-16}{}^{\mathrm{\circ }}}{2}\right)=0,00000000000000000232\dots =\mathrm{2,32}\dots \cdot 10^{-18}[\mathrm{L}\mathrm{E}]}$

Hätten die Winkelschenkel die Länge gleich 1 Billion km (das Licht bräuchte für diese Strecke fast 39 Tage), wäre der absolute Fehler der beiden Sehnen ${\displaystyle \overline{AK}}$ bzw. ${\displaystyle \overline{BT}}$ ca. 2,32 mm.

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