Näherungskonstruktion

• Konstruktionsprinzip: Dritter Strahlensatz und Dezimalbruch
• Die Qualität der Näherung wird durch die Wahl des Dezimalbruchs (Anzahl der Nullen im Nenner) vorherbestimmt.
• Im dargestellten Beispiel ist der Dezimalbruch ${\displaystyle {\frac {56346511368}{1E+11}}}$ gewählt, deshalb sind elf Nachkommastellen gleich dem Wert ${\displaystyle 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{11}}\right)}$ = 0,563465113682859... [LE]

Fehler

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]:

• Konstruierte Seite des Elfecks s_k = 0,56346511368 [LE]
• Seite des Elfecks s = ${\displaystyle 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{11}}\right)}$ = 0,563465113682859... [LE]
• Absoluter Fehler der konstruierten Seite = s_k - s = -0,00000000000286... = -2,86...E-12 [LE]

Beispiel zur Verdeutlichung: Bei einem Umkreisradius r = 1 Mio. km wäre der Fehler der Seite s_k ≈ -2,9 mm

Berechnung

Die Berechnung der konstruierten Seite des Elfecks s_k geschieht, aufgrund des Konstruktionsprinzips, schrittweise durch die geometrischen Additionen / Subtraktionen der einzelnen Zwischenergebnissen auf den Zahlenstrahlen s₁ bzw. s₄.

Besonderheit

Mit geringer Änderung der Arbeitsschritte ist auch eine Näherungskonstruktion mit gegebener Seite des Elfecks machbar:

• Die Basiskonstruktion ohne Umkreis und ohne den Mittelachsen verwenden.
• Den mittigen Hilfsstrahl ${\displaystyle s_{5}}$ mit den beiden Scheitelpunkten ${\displaystyle V_{2}}$ und ${\displaystyle Z_{2}}$ ergänzen.
• Den Zähler als Strecke ${\displaystyle {\overline {NX}}}$ auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {NR}}}$ konstruieren.
• Die Parallele ${\displaystyle {\overline {L_{1}V}}}$ zur Strecke ${\displaystyle {\overline {WX}}}$ einzeichnen, es ergibt sich die Strecke ${\displaystyle {\overline {NV}}}$.
• Die Strecke ${\displaystyle {\overline {NV}}}$ ist der Umkreisradius ${\displaystyle r}$.

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Proximity construction

• Construction principle: third intercept theorem and decimal fraction.
• The quality of the approximation is determined in advance through the choice of decimal fraction (number of zeros in the denominator).
• In the represented example the decimal fraction ${\displaystyle {\frac {56346511368}{1E+11}}}$ is selected, so are eleven decimal places equal to the value ${\displaystyle 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{11}}\right)}$ = 0.563465113682859... [unit of length]

Error

Based on the unit circle r = 1 [unit of length]:

• Constructed side of the hendecagon s_k = 0.56346511368 [unit of length]
• Side of the hendecagon s = ${\displaystyle 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{11}}\right)}$ = 0.563465113682859... [unit of length]
• Absolute error of the constructed side = s_k - s = -0.00000000000286... = -2.86...E-12 [unit of length]

Example to illustrating: At a circumscribed circle radius r = 1 million km, would be the error of the side s_k ≈ -2.9 mm

Calculation

The calculation of the constructed side of the hendecagon s_k takes place, due to the construction principle, step by step through the geometric additions / subtractions of the individual intermediate results, on the number line s₁ respectively s₄.

Special feature

With little change in construction steps also an approximate construction with a given side of the hendecagon is feasible:

• Use the basic construction without circumscribed circle and without the central axes.
• The auxiliary beam ${\displaystyle s_{5}}$ at the center add to with the two vertices points ${\displaystyle V_{2}}$ and ${\displaystyle Z_{2}}$.
• The counter as distance ${\displaystyle {\overline {NX}}}$ construct on distance ${\displaystyle {\overline {NR}}}$.
• The parallel ${\displaystyle {\overline {L_{1}V}}}$ to the distance ${\displaystyle {\overline {WX}}}$, the outcome of this is the distance ${\displaystyle {\overline {NV}}}$.
• The distance ${\displaystyle {\overline {NV}}}$ is the circumscribed circle radius ${\displaystyle r}$.